Question

【题目】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且ADAO＝AMAP．

（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；

（2）证明：PD是⊙O的切线；

（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PB＝6，DM＝2．

【解析】

（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证明即可．

（2）首先证明△ODP≌△OCP（SAS），可得∠ODP＝∠OCP，则∠ODP＝90°，证出OD⊥PA即可解决问题．

（3）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，由AM＝MC，推出AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，可得R2+122＝9R2，推出R＝3，推出OD＝3，MC＝6，由，可得DP的长度，再根据中点及勾股定理求出MB的长度，最后利用相似三角形的性质求出DM即可解决问题．

（1）证明：连接OD、OP、CD．

∵ADAO＝AMAP，

∴，∠A＝∠A，

∴△ADM∽△APO．

（2）证明：∵△ADM∽△APO，

∴∠ADM＝∠APO，

∴MDPO，

∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，

∵OD＝OM，

∴∠DMO＝∠MDO，

∴∠DOP＝∠POC，

∵OP＝OP，OD＝OC，

∴△ODP≌△OCP（SAS），

∴∠ODP＝∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切线．

（3）解：连接OD、OP、CD，设圆的半径为R，

∵△ODP≌△OCP

∴PC＝PD，

∵AM＝MC，

∴AM＝2MO＝2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，

∴R2+122＝9R2，

∴R＝3，

∴OD＝3，MC＝6，

∵，

∴，

∴AP＝18，

∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，

∵O是MC的中点，MBPO，

∴，

∴点P是BC的中点，

∴PB＝CP＝DP＝6，

∵MC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝∠CDM＝90°，

在Rt△BCM中，

∵BC＝2DP＝12，MC＝6，

∴BM＝＝＝6，

∵ ，

∴△BCM∽△CDM，

∴，即，

∴DM＝2．