Question

【题目】已知抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点，其顶点为P，与x轴的另一交点为A．

（1）P点坐标为　 　，A点坐标为　 　；（用含m的代数式表示）

（2）求出a，m之间的关系式；

（3）当m＞0时，若抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m个单位长度后经过点（1，1），求此抛物线的表达式；

（4）若抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移|m|个单位长度后与x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）（m，2m），（2m，0）；（2）a＝﹣；（3）y＝﹣（x﹣2）2+4或y＝﹣2（x﹣1）2+2；（4）与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍．

【解析】

（1）根据抛物线的顶点式即可求得P的坐标，得出对称轴为x＝m，然后根据抛物线的对称性求得A的坐标；

（2）将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣m）2+2m，化简即可求得a，m之间的关系式；

（3）先表示出当m＞0时，抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m个单位长度后的解析式，再将点（1，1）代入，结合（2）中a和m的关系式，解得a和m的值，即可得出此抛物线的表达式；

（4）分两种情况：①a＝﹣，m＞0，a＜0，②m＜0，a＞0，a＝﹣，分别得出平移后的抛物线与坐标轴的交点，然后用含m的式子表示出与x轴所截的线段长，两者相比即可求得答案．

解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0），

∴P（m，2m），

∴对称轴为直线x＝m，

∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点，

∴A（2m，0）．

故答案为：（m，2m），（2m，0）．

（2）将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣m）2+2m，得am2+2m＝0，m≠0，

∴am+2＝0．

∴am＝﹣2，

∴a＝﹣．

（3）当m＞0时，抛物线y＝a（x﹣m）2+2m向下平移m个单位长度后，得y＝a（x﹣m）2+m．

∵抛物线经过点（1，1），

∴a（1﹣m）2+m＝1，

∴am2﹣2am+a+m＝1．

又∵am＝﹣2，

∴a＝m﹣3．

把a＝m﹣3代入am＝﹣2，

解得a1＝﹣1，m1＝2或a2＝﹣2，m2＝1．

∴此抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+4或y＝﹣2（x﹣1）2+2．

（4）①∵a＝﹣

∴当m＞0时，a＜0，

∵抛物线y＝a（x﹣m）2+2m（m≠0）经过原点

∴y＝ax2﹣2amx

向下平移m个单位后为y＝ax2﹣2amx﹣m

平移前d＝2m

平移后：令ax2﹣2amx﹣m＝0得：

a（x﹣m）2＝am2+m

化简得：（x﹣m）2＝

∴x1＝m﹣，x2＝m+m

∴d'＝m

∴＝；

②当m＜0时，a＞0，a＝﹣

原抛物线为y＝ax2﹣2amx，向下平移|m|个单位后为y＝ax2﹣2amx+m

平移前d＝﹣2m

平移后：令ax2﹣2amx+m＝0得：

a（x﹣m）2＝am2+m

化简得：（x﹣m）2＝m2

解得：x1＝m﹣m，x2＝m+m

∴d'＝﹣m

∴＝

综上所述，与x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的或倍．