Question

【题目】某年五月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，邻近县市C、D决定调运物资支援A、B两市灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市，A市需要的物资比B市需要的物资少100吨．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用分别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．

（1）A、B两市各需救灾物资多少吨？

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A市需救灾物资200吨，B市需救灾物资300吨；（2）w＝10x+10200（60≤x≤260）；（3）0＜m≤8

【解析】

（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得A、B两市各需救灾物资多少吨；

（2）根据题意，可以写出w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质和分类讨论的方法可以解答m的取值范围．

（1）设A市需救灾物资a吨，

a+a+100＝260+240

解得，a＝200，

则a+100＝300，

答：A市需救灾物资200吨，B市需救灾物资300吨；

（2）由题意可得，

w＝20[200﹣（260﹣x）]+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，

∵260﹣x≤200且x≤260，

∴60≤x≤260，

即w与x的函数关系式为w＝10x+10200（60≤x≤260）；

（3）∵经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，

∴w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，

①当10﹣m＞0，m＞0时，即0＜m＜10时，则w随x的增大而增大，

∴x＝60时，w有最小值，w最小值是（10﹣m）×60+10200，

∴（10﹣m）×60+10200≥10320，解得m≤8，

又∵0＜m＜10，

∴0＜m≤8；

②当10﹣m＝0，即m＝10时无论如何调运，运费都一样．

w＝10200＜10320，不合题意舍去；

③当10﹣m＜0，即m＞10时，则w随x的增大而减小，

∴x＝260时，w有最小值，此时最小值是（10﹣m）×260+10200，

∴（10﹣m）×260+10200≥10320，

解得，，

又∵m＞10，

∴不合题意，舍去．

综上所述，0＜m≤8，

即m的取值范围是0＜m≤8．