Question

乘法公式的探究及应用：
探究问题：
如图1是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图2，如图所示．
（1）则图1长方形纸条的面积可表示为

（a+b）（a-b）

（写成多项式乘法的形式）．

（2）拼成的图2中阴影部分面积可表示为

a²-b²

（写成两数平方差的形式）．

（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式

（a+b）（a-b）=a²-b²

．
结论运用：
（4）应用所得的公式计算：（2x+y）（2x-y）=

4x²-y²

．(

2

3

m-

1

2

)(-

2

3

m-

1

2

)=

1

4

-

4

9

m2

．
拓展运用：
（5）计算：(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

20122

)(1-

1

20132

)．

Answer 1

分析：（1）表示出矩形的长和宽，可得出图1长方形纸条的面积；
（2）大正方形的面积减去小正方形的面积，可得阴影部分的面积；
（3）由阴影部分的面积相等，可得出等式；
（4）利用（3）的关系式，即可得出答案；
（5）运用平方差公式将原式拆分，再运算即可．

解答：解：（1）（a+b）（a-b）；

（2）a²-b²；

（3）（a+b）（a-b）=a²-b²；

（4）4x²-y²；

1

4

-

4

9

m2；

（5）原式=(1-

1

2

)(1+

1

2

)(1-

1

3

)(1+

1

3

)(1-

1

4

)(1+

1

4

)…(1-

1

2012

)(1+

1

2012

)（1-

1

2013

)(1+

1

2013

)
=

1

2

×

3

2

×

2

3

×

4

3

×

3

4

×

5

4

×…×

2011

2012

×

2013

2012

×

2012

2013

×

2014

2013

=

1007

2013

．

点评：本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式．