Question

如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点A到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、C两点，OC=4；过A作AB⊥x轴交x轴于点B．
（1）请写出A、C两点的坐标；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）设P为抛物线上一点，过P作PH⊥x轴交x轴于点H，试问当P位于何处时，使得以A、B、O为顶点的三角形与以O、P、H为顶点的三角形相似．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据OC长度可求得C点坐标，即可求得点A横坐标，即可解题；
（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、C、O三点代入即可求得a、b的值，即可解题；
（3）连接AC，根据以A、B、O为顶点的三角形与以O、P、H为顶点的三角形相似，可得PH=2OH或者OH'=2P'H'即可解题．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、C两点，OC=4，
∴点C坐标为（4，0），点A横坐标为2，
∵A到x轴的距离是4，
∴点A坐标为（2，4），
（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
代入O点得：c=0，
将A，C两点代入得：

4a+2b=4 16a+4b=0

，
解得：a=-1，b=4，
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+4x；
（3）连接AC，

∴tan∠BAC=

BC

AB

=

1

2

，
∴满足tan∠OPH=

1

2

或tan∠P'OH'=

1

2

即可，
∴存在点P，坐标为（a，2a）或（2b，b）
∴-a²+4a=2a，-（2b）²+8b=b，
解得：a=2，b=

7

4

，
∴点P坐标为（2，4）和（

7

2

，

7

4

）时，可以使得以A、B、O为顶点的三角形与以O、P、H为顶点的三角形相似．

点评：本题考查了二次函数解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了交点的求解，本题中求得抛物线的解析式是解题的关键．