Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为_____．

Answer 1

【答案】或1或或．

【解析】

依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF=OE，DF=BE．设BE=DF=a，则AF=3-a．当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，

∴△BEO≌△DFO（AAS），

∴OF＝OE，DF＝BE．

设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．

当△AEF是等腰三角形时，分三种情况讨论．

①如图（1），当AE＝AF时，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，

解得a=

②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，

∴AF＝2BE，

∴3﹣a＝2a，

解得a＝1．

③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．

又∠FAE＝∠AEB，

∴∠FEA＝∠AEB．

过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，

∴FG＝3﹣2a．

在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，

解得a1＝1-, a2＝1+.

综上所述，DF的长为或1或1-或1+．

故答案为：或1或1-或1+．