Question

2．已知关于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0，x₁、x₂是此方程的两个实数根，现给出的三个结论：①x₁≠x₂；②x₁•x₂＜ab；③若a=b，则|x₁-x₂|=2．其中正确的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；
②根据两根之积就可以判定是否正确；
③利用根与系数的关系可以求出|x₁-x₂|的值，然后也可以判定是否正确．

解答 解：①∵方程x²-（a+b）x+ab-1=0中，
△=[-（a+b）]²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0
∴①x₁≠x₂正确；
②∵x₁x₂=ab-1＜ab，
∴②正确；
（3）∵x₁+x₂=a+b，即（x₁+x₂）²=（a+b）²，
∵x₁x₂=ab-1
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4（ab-1）}$=$\sqrt{（a-b）^{2}+4}$，
∵a=b，∴|x₁-x₂|=2，∴③正确；
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反过来也成立．