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【题目】如图1,点A是线段BC上一点,△ABD△ACE都是等边三角形.

1)连结BECD,求证:BE=CD

2)如图2,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′

当旋转角为   度时,边AD′落在AE上;

的条件下,延长DD’CE于点P,连接BD′CD′.当线段ABAC满足什么数量关系时,△BDD′△CPD′全等?并给予证明.

【答案】解:(1)见详解;(2① 60AC=2AB时,△BDD′△CPD′全等.理由见详解.

【解析】

1)根据等边三角形的性质可得AB=ADAE=AC,∠BAD=CAE=60°,然后求出∠BAE=DAC,再利用边角边证明△BAE△DAC全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
2)①求出∠DAE,即可得到旋转角度数;
②当AC=2AB时,△BDD′△CPD′全等.根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′,然后得到四边形ABDD′是菱形,根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=DBD′=30°,菱形的对边平行可得DPBC,根据等边三角形的性质求出AC=AE,∠ACE=60°,然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=ACD′=30°,从而得到∠ABD′=DBD′=BD′D=ACD′=PD′C=30°,然后利用角边角证明△BDD′△CPD′全等.

(1)证明:∵△ABDACE都是等边三角形

AB=AD,AE=AC,BAD=CAE=60°

∴∠BAD+DAE=CAE+DAE

即∠BAE=DAC

BAEDAC中,

BAEDAC(SAS)

BE=CD

(2)①∵∠BAD=CAE=60°

∴∠DAE=180°60°×2=60°

∵边AD落在AE上,

∴旋转角=DAE=60°.

故答案为:60.

②当AC=2AB,△BDDCPD全等.

理由如下:由旋转可知,ABAD重合,

AB=BD=DD′=AD

∴四边形ABDD是菱形,

∴∠ABD′=DBD′=ABD=12×60°=30°,DPBC

ACE是等边三角形,

AC=AE,ACE=60°

AC=2AB

AE=2AD

∴∠PCD′=ACD′=ACE=×60°=30°

又∵DPBC

∴∠ABD′=DBD′=BDD=ACD′=PCD′=PDC=30°

BDDCPD中,

BDDCPD′(ASA).

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