【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦且与AB交于点E（E不与O重合），CE＝DE，点F在弧AD上，连接AD、CF、DF，CF交AB于点H，交AD于点G．
（1）如图1，求证：∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图2，过点B作BN⊥CF于点N，交⊙O于点M，求证：FN＝CN+DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CF至点Q，连接QA并延长交BM的延长线于点P，若∠Q＝∠ADF，HE＝
BE，AQ＝2DG＝10，求线段PN的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）NP＝
【解析】
（1）利用垂径定理证明
，推出
，再根据圆周角定理即可证明；
（2）如图2中，连接
，
，在
上截取
，连接
．证明
即可解决问题；
（3）如图3中，由
可设
，
，由
是
重心知
， 
，求出a值，过点H作HS⊥AC于S，过A作AK⊥CQ于K，求出CS，CH，HS，从而得出tan∠ACQ，设AK=t，在△ACK中，求出t值，得到CK和CQ，设CN=m，在△BCH中，利用勾股定理求出m，根据同弧所对圆周角相等得出∠Q＝∠ACQ，在Rt△PNQ中，求出PN值.
解:（1）证明：如图1中，连接AC．
∵AB是⊙O直径，CE＝DE，
∴AB⊥CD，
∴，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠CFD＝∠CAD，
∴∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图2中，连接BC，BD，在FC上截取FK＝FD，连接BK．
∵，
∴BC＝BD，∠BFD＝∠BFK，
∵FK＝FD，FB＝FB，
在△BFD和△BFK中，
，
∴△BFD≌△BFK（SAS），
∴BK＝BD，
∴BC＝BK，
∵BN⊥CK，
∴CN＝NK，
∴FN＝FK+KN＝DF+CN；
（3）如图3中，连接AC，AF．
，
设，，
由题意知点是重心，
，，
连接，由射影定理知
，
解得
，
，，，
在Rt△ADE中，由勾股定理可求得
，
，
，
，
，AH=
，BC=
，
过点H作HS⊥AC于S，过A作AK⊥CQ于K，
则HS=AH×CE÷AC=
，
∴CS=
，CH=
=
，
，
设AK=t，
∴CK=
，在△ACK中，
，
解得：t=
或
（舍），
，
∴
，
设CN=m，则NH=-m，
在△BCH中，
，
解得：m=
或36（舍），
∴
，
，
∵∠Q＝∠ADF，∠ACQ=∠ADF，
∴∠Q＝∠ACQ，
在Rt△PNQ中，
，
，
．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图 1，在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线．
（1）求证： AD 
BD CD ；
（2）如图 2，过 A 分别作BAD，DAC 的角平分线，交 BC 于 E, M 两点，过 E 作 AE 的垂线， 交 AM 于 F ．
①当tan C 
时，求
的值；
② 如图 3 ，过 C 作 AF 的垂线 CG ，过 G 点作 GN // AD 交 AC 于 M 点， 连接 MN ．若EAD 15°， AB 1，直接写出 MN 的长度．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ=30°.
（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP=3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设
，求y关于
的函数解析式及定义域；
（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果
与
相似，求线段BP的长.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与双曲线
相交于点
．
求双曲线的表达式；
过动点
且垂直于x轴的直线与直线及双曲线的交点分别为B和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图①，等边三角形
的边长为2，
是
边上的任一点(与
不重合)，设
，连接
，以为边向两侧作等边三角形
和等边三角形
，分别与边
交于点
．
(1)求证：
；
(2)求四边形
与△ABC重叠部分的面积
与
之间的函数关系式及的最小值；
(3)如图②，连接
，分别与边交于点
．当为何值时，
．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L
的函数表达式是
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2，CD＝3，在BC上取点P（P与B、C不重合）连接PA延长至E，使PA＝2AE，连接PD并延长至F，使PD＝3FD，以PE、PF为边作平行四边形，另一个顶点为G，则PG长度的最小值为_____．
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