[题目]如图 1.在直角三角形 ABC 中. BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线．(1)求证: AD BD CD ,(2)如图 2.过 A 分别作BAD.DAC 的角平分线.交 BC 于 E, M 两点.过 E 作 AE 的垂线. 交 AM 于 F ．①当tan C 时.求的值,② 如图 3 .过 C 作 AF 的垂线 CG .过 G 点作 GN // AD � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图 1，在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线．

（1）求证： AD BD CD ；

（2）如图 2，过 A 分别作BAD，DAC 的角平分线，交 BC 于 E, M 两点，过 E 作 AE 的垂线，交 AM 于 F ．

①当tan C 时，求的值；

② 如图 3 ，过 C 作 AF 的垂线 CG ，过 G 点作 GN // AD 交 AC 于 M 点，连接 MN ．若EAD 15°， AB 1，直接写出 MN 的长度．

【答案】（1）见解析；（2）①；②

【解析】

（1）根据直角三角形的性质和同角的余角相等证出∠B=∠DAC，再根据相似三角形的判定定理证出△BDA∽△ADC，列出比例式变形即可得出结论；

（2）①分别过点E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质可得PE=ED，DM=MQ，然后利用tan∠BAD=tanC，可设BD=9a，利用锐角三角函数分别用a表示出ED和DM即可求出结论；

②设NG与CM交于点H，先证出△ABM为等边三角形，∠GMH=∠AMB=60°，可得AB=AM=BM=1，然后利用锐角三角函数分别求出MH和NH，最后利用勾股定理即可求出结论．

解：（1）∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 为斜边 BC 上的高线

∴∠BDA=∠ADC=∠BAC=90°

∴∠B＋∠BAD=90°，∠DAC＋∠BAD=90°

∴∠B=∠DAC

∴△BDA∽△ADC

∴

∴AD BD CD

（2）①分别过点E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q

∵AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，AD 为斜边 BC 上的高线，

∴PE=ED，DM=MQ

∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90° , tan C

∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠C＋∠DAC=90°

∴∠BAD=∠C

∴tan∠BAD=tanC

∴

设BD=9a，则AD=12a，DC=16a，BE=BD－ED=9a－ED，CM=DC－DM=16a－DM

利用勾股定理可得AB=，AC=

∴sinB=，sinC=

∴，

即，

解得：ED=4a，DM=6a

∴==

②设NG与CM交于点H

∵EAD 15°，AE平分∠BAD

∴∠BAD=2∠EAD=30°

∴∠DAC=∠B=90°－∠BAD=60°，∠C=∠BAD=30°

∴BC=2AB=2

∵AM平分∠DAC

∴∠DAM=∠MAC=∠DAC=30°

∴∠BAM=∠BAD＋∠DAM=60°

∴∠AMB=180°－∠BAM－∠B=60°

∴△ABM为等边三角形，∠GMH=∠AMB=60°

∴AB=AM=BM=1

∴CM=BC－BM=1

∵CG⊥AF，GN∥AD

∴∠CGM=90°，∠GHM=∠ADC=90°

在Rt△MGC中，MG=CM·cos∠GMH=

在Rt△MHG中，MH=MG·cos∠GMH=

∴CH=CM－MH=

在Rt△CNH中，NH=CH·tanC=

根据勾股定理可得MN==

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