Question

【题目】如图①，等边三角形的边长为2，是边上的任一点(与不重合)，设，连接，以为边向两侧作等边三角形和等边三角形，分别与边交于点．

(1)求证：；

(2)求四边形与△ABC重叠部分的面积与之间的函数关系式及的最小值；

(3)如图②，连接，分别与边交于点．当为何值时，．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；的最小值为；（3）当时，．

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出，据此通过证明△ADM和△APN全等后利用全等三角形性质证明结论即可；

（2）作于点，首先结合（1）中结论得出四边形与△ABC重叠部分四边形的面积的面积，之后利用勾股定理以及三角函数的概念求出△ADP的面积，由此进一步分析求解即可；

（3）连接PG，利用菱形的性质以及等腰直角三角形的性质进一步进行计算即可.

(1)证明：∵△ABC，△APD，△APE都是等边三角形，

∴，

∴．

在△ADM和△APN中，

∵

∴△ADM△APN(ASA)，

∴；

(2)如图，作于点．

∵△ADM△APN

∴四边形与△ABC重叠部分四边形的面积的面积．

∵，，

∴，，

∴，

由勾股定理，得，

∵是等边三角形，

∴△ADP的面积=，

即：，

∴的最小值为；

(3)连接，如图：

当时，

∵，

∴．

易知四边形是菱形，

∴．

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，，

∴．

解得．

∴当时，．