Question

【题目】（感知）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，过点作轴，垂足为点，易知，得到点的坐标为．

（探究）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段．

（1）求点的坐标．（用含的代数式表示）

（2）求出BC所在直线的函数表达式．

（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连结、，则的最小值为_______．

Answer 1

【答案】【探究】（1）点坐标为；（2）；【拓展】．

【解析】

探究:（1）证明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；
（2）根据点B的坐标为（m，m+1），点坐标，即可求解；
拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，即可求解．

解：探究：（1）过点作轴，垂足为点．

，

．

线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，

．

．

．

，

，

．

点坐标，点坐标，

点坐标为

（2）∵点B的坐标为（m，m+1），点C为（0，m），

设直线BC为：y=kx+b，

，解得：，

∴；

则BC所在的直线为：；

拓展：如图作BH⊥OH于H．

设点C的坐标为（0，m），
由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，
则点B（m，1+m），
则：BO+BA=，
BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，-1）和点N（0，-1）的最小值，
相当于在直线y=x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，-1），到N（1，-1）的距离和最小，

作M关于直线y=x的对称点M′（-1，0），
易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，
M′N=，
故：BO+BA的最小值为，

故答案为：．