Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PBPA．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，证明△PBC∽△PCA，得到∠PCB＝∠PAC，根据直径得到∠ACB＝90°，再利用OC＝OB推导出∠PCB+∠OCB＝90°即可得到结论；

（2）连接OD，根据PC2＝PBPA求出AB=30，设BC＝x在Rt△ABC中根据勾股定理求出x，证明△DOF∽△ACB求出，根据EF∥BC得到，由此求出EF.

（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵PC2＝PBPA，即，且∠P＝∠P，

∴△PBC∽△PCA，

∴∠PCB＝∠PAC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：连接OD，如图2所示：

∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PBPA，

，

∴AB＝PA﹣PB＝30，

∵△PBC∽△PCA，

∴，

设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，

解得：，即BC＝，

∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，

∴∠AOD＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AEF＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴DE∥BC，

∴∠DFO＝∠ABC，

∴△DOF∽△ACB，

∴，

，即，

∵EF∥BC，

∴，

．