Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA，DB．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）试探究线段AB，BD，CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）延长ED交AB的延长线于F，若AD=DF，DE=，求⊙O的半径；

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) BD2=CEAB ;(3)2.

【解析】分析：(1)、连接OD，根据弧的中点以及OA=OD得出OD和AE平行，从而得出切线；(2)、根据AB为⊙O的直径，DE⊥AE得出∠E=∠ADB，根据四点共圆得出∠ECD=∠4，从而得出△ECD和△DBA相似，从而得出答案；(3)、根据AD=DF得出∠1=∠F=∠3，根据△ADF的内角和得出∠1=30°，∠4=60°=∠ECD，根据Rt△ECD的三角函数得出CE、BD的长度，然后根据(2)的结论得出答案．

详解：（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠1=∠2∵OA=OD，∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，∴OD∥AE， ∵DE⊥AE∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

（2）解：数量关系是BD2=CEAB， 连接CD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AE∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，

∵A，B，D，C四点共圆，∴∠ECD=∠4，∴△ECD∽△DBA，∴ ，

∵D为弧BC的中点，∴CD=BD，∴∴BD2=CEAB；

（3）解：∵OD⊥DE， ∴∠ODF=90°，∵AD=DF，∴∠1=∠F=∠3 ，

在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°，∴∠1=30°，∴∠4=60°=∠ECD，

在Rt△ECD中tan∠ECD=，sin∠ECD=，∴CE=，CD=，∴CE=1，BD=CD=，

由BD2=CEAB得(2)2=1×AB， ∴AB=4， ∴⊙O的半径是2．