【题目】在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,CD=3,在BC上取点P(P与B、C不重合)连接PA延长至E,使PA=2AE,连接PD并延长至F,使PD=3FD,以PE、PF为边作平行四边形,另一个顶点为G,则PG长度的最小值为_____.
【答案】7
【解析】
作如下辅助线:连接PG、EF交于点O,PG交AD于点K,过点A作AM∥EO交PG于点M,过点D作DN∥FO交PG于点N,由此可得△POE∽△PMA,△POF∽△PND,△AKM∽△DKN,利用对应边成比例即可求出平行四边形的对角线PG必过点K,且 ,当KP⊥BC时,PG的长度最小,此时PK=,所以OP=,PG=2OP=7.
解:连接PG、EF交于点O,PG交AD于点K,过点A作AM∥EO交PG于点M,过点D作DN∥FO交PG于点N.
∵PA=2AE,PD=3FD,
∴,.
∵AM∥EO,DN∥FO,
∴△POE∽△PMA,△POF∽△PND,
∴,
,
∴MP=OP,NP=OP,AM=EO,DN=FO,
又∵在平行四边形PEGF中,OE=OF,
∴,
∵AM∥DN,
∴,
∵,
∴,
解得:OP=PK.
由题意可知,PG必过点K,当KP⊥BC时,PG最小,此时PK= ,
∴OP=PK=,
∴PG=2OP=7.
故答案为:7.
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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标.
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【题目】在趣味运动会“定点投篮”项目中,我校七年级八个班的投篮成绩单位:个分别为:24,20,19,20,22,23,20,则这组数据中的众数和中位数分别是
A. 22个、20个 B. 22个、21个 C. 20个、21个 D. 20个、22个
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,点D是 的中点,DE是⊙O的切线,DF⊥AB于F,点G是 的中点
(1)求证:△ADE≌△ADF;
(2)若OF=3,AB=10,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.
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【题目】已知等腰中,,的顶点在线段上,不与重合.
(1)如图①,若且点在中点时,四边形是什么四边形并证明?
(2)将绕点旋转至如图②所示位置,若,设的面积为;的面积为,求的值(用含有的代数式表示).
图① 图②
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的点P在直线y=x上,过点P的直线交x轴正半轴于点A,交直线y=3x于点B,点B在第一象限内.
(1)如图1,当∠OAB=90°时,求的值;
(2)当点A的坐标为(6,0),且BP=2AP时,将过点A的抛物线y=﹣x2+mx上下方平移,使它过点B,求平移的方向和距离.
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【题目】甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书,甲出发5分钟后,乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距(米),甲行走的时间为(分),关于的函数函数图像的一部分如图所示.
(1)求甲行走的速度;
(2)在坐标系中,补画关于函数图象的其余部分;
(3)问甲、乙两人何时相距360米?
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【题目】某校260名学生参加植树活动,活动结束后学校随机调查了部分学生每人的植树棵数,并绘制成如下的统计图①和统计图②.请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______,图①中m的值为_______;
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数;
(Ⅲ)求本次调查获取的样本数据的平均数,并根据样本数据,估计这260名学生共植树多少棵.
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