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【题目】在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的点P在直线yx上,过点P的直线交x轴正半轴于点A,交直线y3x于点B,点B在第一象限内.

(1)如图1,当∠OAB90°时,求的值;

(2)当点A的坐标为(60),且BP2AP时,将过点A的抛物线y=﹣x2+mx上下方平移,使它过点B,求平移的方向和距离.

【答案】(1)5(2)抛物线向下平移了个单位长度.

【解析】

1)设点A横坐标为a,由于∠OAB90°,即ABx轴,所以PB横坐标也是a,分别代入直线解析式求PB纵坐标,相减即能得到用a表示的BPAP的值.

2)分别过点PBx轴垂线,垂足分别为DC,根据平行线分线段定理可得.设直线AB解析式为ykx+b,把A坐标代入得ykx6k.把直线AB解析式分别与直线OPOB解析式联立方程组,求得点PB的横坐标(用k表示)即点DC横坐标,进而得到用k表示CDDA的式子.根据CD2AD为等量关系列方程即求得k的值,即得到点B坐标.把点A代入原抛物线解析式求m,由于上下平移,故可在原抛物线解析式后+n以表示平移后的抛物线,把点B代入即求得n的值.n为负数时即表示向下平移.

(1)设点A坐标为(a0)(a0)

∵∠OAB90°,点B在直线y3x上,点P在直线yx

(2)如图,过点BBCx轴于点C,过点PPDx轴于点D

BCPD

BP2AP

=2

CD2DA

设直线AB解析式为:ykx+b

A(60)

6k+b0,得b=﹣6k

∴直线AB解析式为ykx6k

xkx6k时,解得:x

xDxP

3xkx6k时,解得:x

解得:k=﹣2

,即

∵抛物线y=﹣x2+mx过点A

∴﹣36+6m0,解得:m6

设平移后过点B的抛物线解析式为y=﹣x2+6x+n

解得:n=﹣

∴抛物线向下平移了个单位长度.

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