Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”

（1）点A（2，6）的“坐标差”为________；

（2）求抛物线y=-x2+5.x+4的“特征值”；

（3）某二次函数y=-x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为-1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；

（4）二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上点下在x轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）8；（3）y=-x2+3x-2；（4）y=-（x-5）2+7，

【解析】

（1）根据题目中的规定易得结论；

（2）根据定义求出y-x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；

（3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），则点B的坐标为（-c，0）,把点B的坐标代入二次函数解析式得到b=1-c，再将b=1-c代入二次函数解析式，求出特征值y-x的代数式，然后由坐标值为-1求出c的值，继而求出b的值，即可求出二次函数解析式；

（4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y=x+2，由二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上，用顶点式可设二次函数为y=-（x-m）2+m+2.在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时（如图②）.然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入y=-（x-m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值.

（1）根据“坐标差”的定义得：6-2=4；

（2）y-x=-x2+5x+4-x=-x2+4x+4=-（x-2）2+8，特征值是8

（3）由题意，得点C的坐排为（0，c），

∵点B与点C的“坐标差”相等，

∴B（-c.0），把B（-c，0）代入y=-x2+bx+c，得0=-（-c）2+b×（-c）+c，

∴b=1-c，

∴y=-x2+（1-c）x+c，

∵二次函数y=-x2+（1-c）x+c的“特征值”为-1.

∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c，

∴=-1，

∴c=-2，

∴b=3，

∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2

（4）解：“坐标差”为2的一次函数为y=x+2，

∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上，

∴设二次函数为y=-（x-m）2+m+2，

二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，把（1，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（1-x）2+m+2，解得m1=1，m2=2（合去），

∴二次函数的解新式为y=-（x-1）2+3，

∴y-x=-（x-1）2+3-x=-x2+x+2=-（x-）2+，特征值是；

把（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2，得3=-（7-m）2+m+2，解得m1=5，m2=10（舍去），

二次函数的解析或为y=-（x-5）2+7，

∴y-x=-(x-5)2+7-x=-x2+9x-18=-（x-）2+，特征值是.