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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.

(1)填空:b=   c=   

(2)在点P,Q运动过程中,APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;

(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;

(4)如图,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.

【答案】1b= c=4;(2APQ不可能是直角三角形,理由见解析;(3t=;(4Q′ ).

【解析】试题分析:1)设抛物线的解析式为y=ax+3)(x4).将a=代入可得到抛物线的解析式,从而可确定出bc的值;

2)连结QC.先求得点C的坐标,则PC=5﹣t,依据勾股定理可求得AC=5CQ2=t2+16,接下来,依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可;

3)过点PDEx轴,分别过点MQMDDEQEDE,垂足分别为DEMDx轴与点F,过点PPGx轴,垂足为点G,首先证明PAG∽△ACO,依据相似三角形的性质可得到PG=tAG=t,然后可求得PEDF的长,然后再证明MDPPEQ,从而得到PD=EQ=tMD=PE=3+t,然后可求得FMOF的长,从而可得到点M的坐标,然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可;

4)连结OP,取OP的中点R,连结RHNR,延长NR交线段BC与点Q′.首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=tRHOQNR=AP=t,则RH=NR,接下来,依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线,然后求得直线NRBC的解析式,最后求得直线NRBC的交点坐标即可

试题解析:1设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣4),

a=代入得:y=x2+x+4

b=c=4

2)在点PQ运动过程中,APQ不可能是直角三角形.

理由如下:连结QC

∵在点PQ运动过程中,∠PAQPQA始终为锐角,

∴当APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°

x=0代入抛物线的解析式得:y=4

C04).

AP=OQ=t

PC=5﹣t

∵在RtAOC中,依据勾股定理得:AC=5,在RtCOQ中,依据勾股定理可知:CQ2=t2+16,在RtCPQ中依据勾股定理可知:PQ2=CQ2﹣CP2,在RtAPQ中,AQ2﹣AP2=PQ2

CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2,即(3+t2﹣t2=t2+16﹣5﹣t2,解得:t=4.5

∵由题意可知:0≤t≤4

t=4.5不和题意,即APQ不可能是直角三角形.

3)如图所示:

过点PDEx轴,分别过点MQMDDEQEDE,垂足分别为DEMDx轴与点F,过点PPGx轴,垂足为点G,则PGy轴,∠E=D=90°

PGy轴,

∴△PAG∽△ACO

,即

PG=tAG=t

PE=GQ=GO+OQ=AOAG+OQ=3t+t=3+tDF=GP=t

∵∠MPQ=90°D=90°

∴∠DMP+DPM=EPQ+DPM=90°

∴∠DMP=EPQ

又∵∠D=EPM=PQ

∴△MDPPEQ

PD=EQ=tMD=PE=3+t

FM=MDDF=3+tt=3tOF=FG+GO=PD+OAAG=3+tt=3+t

M3t3+t).

∵点Mx轴下方的抛物线上,

3+t=×3t2+×3t+4,解得:t=

0≤t≤4

t=

4)如图所示:连结OP,取OP的中点R,连结RHNR,延长NR交线段BC与点Q′

∵点HPQ的中点,点ROP的中点,

EH=QO=tRHOQ

A30),N 0),

∴点NOA的中点.

又∵ROP的中点,

NR=AP=t

RH=NR

∴∠RNH=RHN

RHOQ

∴∠RHN=HNO

∴∠RNH=HNO,即NH是∠QNQ′的平分线.

设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A30)、C04)代入得:

解得:m= n=4

∴直线AC的表示为y=x+4

同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4

设直线NR的函数表达式为y=x+s,将点N的坐标代入得: ×+s=0,解得:s=2

∴直线NR的表述表达式为y=x+2

将直线NR和直线BC的表达式联立得: ,解得:x= y=

Q′ ).

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