【题目】如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.
【答案】(1)b= ,c=4;(2)△APQ不可能是直角三角形,理由见解析;(3)t=;(4)Q′( , ).
【解析】试题分析:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣4).将a=﹣代入可得到抛物线的解析式,从而可确定出b、c的值;
(2)连结QC.先求得点C的坐标,则PC=5﹣t,依据勾股定理可求得AC=5,CQ2=t2+16,接下来,依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可;
(3)过点P作DE∥x轴,分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE,垂足分别为D、E,MD交x轴与点F,过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,首先证明△PAG∽△ACO,依据相似三角形的性质可得到PG=t,AG=t,然后可求得PE、DF的长,然后再证明△MDP≌PEQ,从而得到PD=EQ=t,MD=PE=3+t,然后可求得FM和OF的长,从而可得到点M的坐标,然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可;
(4)连结OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q′.首先依据三角形的中位线定理得到EH=QO=t,RH∥OQ,NR=AP=t,则RH=NR,接下来,依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线,然后求得直线NR和BC的解析式,最后求得直线NR和BC的交点坐标即可.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣4),
将a=﹣代入得:y=﹣x2+x+4,
∴b=,c=4.
(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形.
理由如下:连结QC.
∵在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,
∴当△APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°.
将x=0代入抛物线的解析式得:y=4,
∴C(0,4).
∵AP=OQ=t,
∴PC=5﹣t,
∵在Rt△AOC中,依据勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依据勾股定理可知:CQ2=t2+16,在Rt△CPQ中依据勾股定理可知:PQ2=CQ2﹣CP2,在Rt△APQ中,AQ2﹣AP2=PQ2,
∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2,即(3+t)2﹣t2=t2+16﹣(5﹣t)2,解得:t=4.5.
∵由题意可知:0≤t≤4,
∴t=4.5不和题意,即△APQ不可能是直角三角形.
(3)如图所示:
过点P作DE∥x轴,分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE,垂足分别为D、E,MD交x轴与点F,过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,则PG∥y轴,∠E=∠D=90°.
∵PG∥y轴,
∴△PAG∽△ACO,
∴,即,
∴PG=t,AG=t,
∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t,DF=GP=t.
∵∠MPQ=90°,∠D=90°,
∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°,
∴∠DMP=∠EPQ.
又∵∠D=∠E,PM=PQ,
∴△MDP≌PEQ,
∴PD=EQ=t,MD=PE=3+t,
∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t,OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t,
∴M(﹣3﹣t,﹣3+t).
∵点M在x轴下方的抛物线上,
∴﹣3+t=﹣×(﹣3﹣t)2+×(﹣3﹣t)+4,解得:t=.
∵0≤t≤4,
∴t=.
(4)如图所示:连结OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q′.
∵点H为PQ的中点,点R为OP的中点,
∴EH=QO=t,RH∥OQ.
∵A(﹣3,0),N(﹣ ,0),
∴点N为OA的中点.
又∵R为OP的中点,
∴NR=AP=t,
∴RH=NR,
∴∠RNH=∠RHN.
∵RH∥OQ,
∴∠RHN=∠HNO,
∴∠RNH=∠HNO,即NH是∠QNQ′的平分线.
设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(﹣3,0)、C(0,4)代入得: ,
解得:m= ,n=4,
∴直线AC的表示为y=x+4.
同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4.
设直线NR的函数表达式为y=x+s,将点N的坐标代入得: ×(﹣)+s=0,解得:s=2,
∴直线NR的表述表达式为y=x+2.
将直线NR和直线BC的表达式联立得: ,解得:x= ,y=,
∴Q′(, ).
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(﹣1,0),B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?
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【题目】周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角 为45,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角 为30.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10 cm,则可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)( ).
A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y= 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图2,点E(a,b)是对称轴右侧抛物线上一点,过点E垂直于y轴的直线与AC交于点D(m,n).点P是x轴上的一点,点Q是该抛物线对称轴上的一点,当a+m最大时,求点E的坐标,并直接写出EQ+PQ+PB的最小值;
(3)如图3,在(2)的条件下,连结OD,将△AOD沿x轴翻折得到△AOM,再将△AOM沿射线CB的方向以每秒3个单位的速度沿平移,记平移后的△AOM为△A′O'M',同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移,点B的对应点为B'.△A'B'M'能否为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点M'的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,CD=3,在BC上取点P(P与B、C不重合)连接PA延长至E,使PA=2AE,连接PD并延长至F,使PD=3FD,以PE、PF为边作平行四边形,另一个顶点为G,则PG长度的最小值为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点、,交轴于点,在轴上有一点,连接.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点的坐标,若不存在请说明理由.
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