【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(﹣1,0),B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+1;(2)4;(3)M (,﹣)或(4,﹣15)或(﹣2,﹣3).
【解析】
(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;
(2)先求出直线AC的解析式,由于BD∥AC,那么直线BD的斜率与直线AC的相同,可据此求出直线BD的解析式,联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标;由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和,由此可求得其面积;
(3)易知OA=OB=OC=1,那么△ACB是等腰直角三角形,由于AC∥BD,则∠CBD=90°;根据B、C的坐标可求出BC、BD的长,进而可求出它们的比例关系;若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似,那么两个直角三角形的对应直角边应该成立,可据此求出△AMN两条直角边的比例关系,连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标.
解:(1)依题意,得:,解得;
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+1;
(2)易知A(﹣1,0),C(0,1),则直线AC的解析式为:y=x+1;
由于AC∥BD,可设直线BD的解析式为y=x+h,则有:1+h=0,h=﹣1;
∴直线BD的解析式为y=x﹣1;联立抛物线的解析式得:
,解得,;
∴D(﹣2,﹣3);
∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×2×1+×2×3=4;
(3)∵OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰Rt△;
∵AC∥BD,
∴∠CBD=90°;
易求得BC=,BD=3;
∴BC:BD=1:3;
由于∠CBD=∠MNA=90°,若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似,则有:
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC,得:
或;
即MN=AN或MN=3AN;
设M点的坐标为(x,﹣x2+1),
①当x>1时,AN=x﹣(﹣1)=x+1,MN=x2﹣1;
∴x2﹣1=(x+1)或x2﹣1=3(x+1),
解得x=,x=﹣1(舍去)或x=4,x=﹣1(舍去);
∴M点的坐标为:M(,﹣)或(4,﹣15);
②当x<﹣1时,AN=﹣1﹣x,MN=x2﹣1;
∴x2﹣1=(﹣x﹣1)或x2﹣1=3(﹣x﹣1),
解得x=,x=﹣1(两个都不合题意,舍去)或x=﹣2,x=﹣1(舍去);
∴M(﹣2,﹣3);
故存在符合条件的M点,且坐标为:M(,﹣)或(4,﹣15)或(﹣2,﹣3).
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【题目】(2013年四川绵阳12分)如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.
(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;
(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.
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【题目】(11·孝感)学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;若指针指向扇形的分界线,则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ为直角三角形;
(3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标.
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【题目】如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,6),抛物线经过A、O、B三点,连结OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连结ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象交于点A(-4,-2)和B(a,4),直线AB交y输于点C,连接QA、OB.
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标:
(2)根据图象回答,当x的取值在什么范围内时,一次函数的值大于反比例函数的值;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(﹣3,﹣3),点B(﹣1,﹣3),点C(﹣1,﹣1)
(1)画出△ABC;
(2)以点C为旋转中心,画出将△ABC顺时针旋转90度的△A1B1C,并求出线段CA扫过的面积;
(3)以O为位似中心,在第一象限内作出△A2B2C2使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2,并写出A2点的坐标.
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.
(1)填空:b= ,c= ;
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;
(3)在x轴下方,该二次函数的图象上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由;
(4)如图②,点N的坐标为(﹣,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.
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