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【题目】如图,抛物线yax2+bx+1x轴交于两点A(﹣10),B10),与y轴交于点C

1)求抛物线的解析式;

2)过点BBDCA抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;

3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过MMNx轴于点N,使以AMN为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+1;(24;(3M ,﹣)或(4,﹣15)或(﹣2,﹣3).

【解析】

1)将AB的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值;

2)先求出直线AC的解析式,由于BDAC,那么直线BD的斜率与直线AC的相同,可据此求出直线BD的解析式,联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标;由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和,由此可求得其面积;

3)易知OAOBOC1,那么△ACB是等腰直角三角形,由于ACBD,则∠CBD90°;根据BC的坐标可求出BCBD的长,进而可求出它们的比例关系;若以AMN为顶点的三角形与△BCD相似,那么两个直角三角形的对应直角边应该成立,可据此求出△AMN两条直角边的比例关系,连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标.

解:(1)依题意,得:,解得

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+1

2)易知A(﹣10),C01),则直线AC的解析式为:yx+1

由于ACBD,可设直线BD的解析式为yx+h,则有:1+h0h=﹣1

∴直线BD的解析式为yx1;联立抛物线的解析式得:

,解得

D(﹣2,﹣3);

S四边形ACBDSABC+SABD×2×1+×2×34

3)∵OAOBOC1

∴△ABC是等腰Rt△;

ACBD

∴∠CBD90°;

易求得BCBD3

BCBD13

由于∠CBD=∠MNA90°,若以AMN为顶点的三角形与△BCD相似,则有:

MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC,得:

MNANMN3AN

M点的坐标为(x,﹣x2+1),

①当x1时,ANx﹣(﹣1)=x+1MNx21

x21x+1)或x213x+1),

解得xx=﹣1(舍去)或x4x=﹣1(舍去);

M点的坐标为:M,﹣)或(4,﹣15);

②当x<﹣1时,AN=﹣1xMNx21

x21(﹣x1)或x213(﹣x1),

解得xx=﹣1(两个都不合题意,舍去)或x=﹣2x=﹣1(舍去);

M(﹣2,﹣3);

故存在符合条件的M点,且坐标为:M,﹣)或(4,﹣15)或(﹣2,﹣3).

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(1)求抛物线的解析式;

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