Question

【题目】如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点

(1)求抛物线的解析式及A点坐标；

(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围 .

Answer 1

【答案】(1)y=x2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；(3)3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y=0，求A的坐标；

（2）设D点横坐标为a，代入函数解析式可得纵坐标，分别讨论∠BCD=90°和∠CBD=90°的情况，作出图形进行求解；

（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，此时△BCD和△BCD'就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围.

（1）将B（4,0），C（0,4）代入y=x2+bx+c得，

，解得，

所以抛物线的解析式为，

令y=0，得，解得，，

∴A点的坐标为（1,0）

（2）设D点横坐标为，则纵坐标为，

①当∠BCD=90°时，如下图所示，连接BC，过C点作CD⊥BC与抛物线交于点D，过D作DE⊥y轴与点E，

由B、C坐标可知，OB=OC=4，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

又∵∠BCD=90°，

∴∠ECD+∠OCB=90°

∴∠ECD=45°，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴DE=CE=a

∴OE=OC+CE=a+4

由D、E纵坐标相等，可得，

解得，，

当时，D点坐标为（0,4），与C重合，不符合题意，舍去.

当时，D点坐标为（6,10）；

②当∠CBD=90°时，如下图所示，连接BC，过B点作BD⊥BC与抛物线交于点D，过B作FG⊥x轴，再过C作CF⊥FG于F，过D作DG⊥FG于G，

∵∠COB=∠OBF=∠BFC=90°，

∴四边形OBFC为矩形，

又∵OC=OB，

∴四边形OBFC为正方形，

∴∠CBF=45°

∵∠CBD=90°，

∴∠CBF+∠DBG=90°，

∴∠DBG=45°，

∴△DBG为等腰直角三角形，

∴DG=BG

∵D点横坐标为a，

∴DG=4-a，

而BG=

∴

解得，，

当时，D点坐标为（4,0），与B重合，不符合题意，舍去.

当时，D点坐标为（2,-2）；

综上所述，D点坐标为(6,10)或(2,-2).

（3）当BC为斜边构成Rt△BCD时，如下图所示，以BC中点O'为圆心，以BC为直径画圆，与抛物线交于D和D'，

∵BC为圆O'的直径，

∴∠BDC=∠BD'C=90°，

∵，

∴D到O'的距离为圆O'的半径，

∵D点横坐标为m，纵坐标为，O'点坐标为（2,2），

∴

即

化简得：

由图像易得m=0或4为方程的解，则方程左边必有因式，

∴采用因式分解法进行降次解方程

或或，

解得，，，

当时，D点坐标为（0,4），与C点重合，舍去；

当时，D点坐标为（4,0），与B点重合，舍去；

当时，D点横坐标；

当时，D点横坐标为；

结合（2）中△BCD形成直角三角形的情况，

可得△BCD为锐角三角形时，D点横坐标m的取值范围为3+＜m ＜6或 3-＜m ＜2.