Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；

（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S△ABE＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3；（3）P的坐标为（﹣，﹣）

【解析】

（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法即可得出答案；

（2）根据（1）中求出的函数解析式得出点A、C和D的坐标，再利用割补法即可得出答案；

（3）设点E的纵坐标为t，根据△ABE的面积求出t的值，再代入函数解析式即可得出点E的坐标，将A和E的坐标代入即可得出直线AE的解析式，接着根据S△APE＝S△APG+S△PEG求出面积的函数关系式，再化为顶点式即可得出答案．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，

∴a+2a+c＝0，点C的坐标为（0，c），

∴点A的坐标为（c，0），

∴ac2+2ac+c＝0，

∴，

解得，或，

∵函数图象开口向上，

∴a＞0，

∴a＝1，c＝﹣3，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，抛物线与与y轴交于点C，顶点为D，OA＝OC，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，

∴点D的坐标为（﹣1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3），点A的坐标为（﹣3，0），

连接OD，如右图1所示，

由图可知：

S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC

＝

＝3；

（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），

∴AB＝4，

设点E的纵坐标为t，t＜0，

∵S△ABE＝，

∴，得t＝，

把y＝代入y＝x2+2x﹣3，得

＝x2+2x﹣3，

解得，x1＝，x2＝，

∵点E在y轴的右侧，

∴点E（，），

设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），

∴，得，

∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，

过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，

设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，x﹣1），

∴PG＝（x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，

又∵A（﹣3，0），E（，），

∴S△APE＝S△APG+S△PEG

＝

＝

＝，

∴当x＝﹣时，S△APE取得最大值，最大值是，

把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得

y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，

∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．