Question

【题目】阅读下列内容，并解决问题．

一道习题引发的思考

小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；

习题再现：

古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？

资料搜集：

定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．

关于勾股数的研究：我囯西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股效，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）

问题解答：

（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；

（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；

（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．

Answer 1

【答案】（1）(12，35，37)；（2）见解析；（3）反例：(5，12，13)

【解析】

(1)把直接代入，，即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理即可证明结论；

(3)柏拉图给出的勾股数公式不能构造出5、12、13这组勾股数．

(1)把直接代入，，得

，，，

故答案为：(12，35，37)；

(2)∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，且是最大边，

∵

，

∴，

即，，为勾股数；

(3)当时，勾股数为(3，4，5)；

当时，勾股数为(8，6，10)；

当时，勾股数为(15，8，17)；

(5，12，13)是勾股数，而柏拉图给出的勾股数公式不能构造出．