Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出，由此即可解决问题．

解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∵BC＝，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°，

∵∠EPB＝∠EBP＝60°，

∴△EPB是等边三角形，

∴∠PEB＝60°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，

∴∠EPB+∠BCE＝180°，

∴P，B，C，E四点共圆，

∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，

∵∠TCB＝∠CBT＝60°

∴△TCB是等边三角形，

∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝，

∵∠BAG＝∠BAC＝30°，

∴∠APC＝90°，

∴PA＝ATcos30°＝3，AN＝PAcos30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝，

∴BN＝AB﹣AN＝，

∵∠PBE＝∠CBT＝60°，

∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，

∵∠PCM＝∠PNB＝90°，

∴△PCM∽△BNP，

∴，

∴，

∴CM＝，

∵PA⊥PC，CM⊥PC，

∴CM∥PA，

∴，

∴AF＝AC＝．

故答案为．