[题目]如图.在平面直角坐标系中.四边形的顶点为坐标原点.点在轴的正半轴上.且于点.点的坐标为...点是线段上一点.且.连接.(1)求证:是等边三角形,(2)求点的坐标,(3)平行于的直线从原点出发.沿轴正方向平移.设直线被四边形截得的线段长为.直线与轴交点的横坐标为.①当直线与轴的交点在线段上(交点不与点重合)时.请直接写出与的函数关系式(不必写出自变量的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，且于点，点的坐标为，，，点是线段上一点，且，连接.

（1）求证：是等边三角形；

（2）求点的坐标；

（3）平行于的直线从原点出发，沿轴正方向平移.设直线被四边形截得的线段长为，直线与轴交点的横坐标为.

①当直线与轴的交点在线段上（交点不与点重合）时，请直接写出与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）

②若，请直接写出此时直线与轴的交点坐标.

【答案】（1）见解析（2）（3）① ②，

【解析】

（1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据已知条件，依据三角函数求得∠AOM=60°，根据勾股定理求得OA=4，即可求得．

（2）过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，在Rt△ABN中，根据三角函数求得AN、BN的值，从而求得OC、BC的长，得出点B的坐标．

（3）①如图3，因为∠B=60°，BC=4，所以PC=12，EM=m，因为OC=8，所以PO=4，OF=t，MF=m，OM=，所以PM=4+（），根据△PME∽△PCB即可求得m=.

②如图4，△OEF是等边三角形所以OF=EF=m=2，在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°，所以BP=PE′÷sin∠B=，PC=，根据勾股定求得CF′=，所以OF′=.

解：（l）如图.

证明：过点作轴于点，

∵点的坐标为，∴，，

∴在中，，∴

由勾股定理得，，

∵，∴，

∴是等边三角形.

（2）如图

解：过点作于点，

∵，轴，

∴，

∴四边形为矩形，∴，，

∵，，∴在中，

，

∴，，

∴点的坐标为.

（3）

①如图3，∠B=60°，BC=4

PC=12，EM=m，

OC=8，

PO=4，OF=t，MF=m，OM=，

PM=4+（），

由△PME∽△PCB即可求得m=.

②如图4，△OEF是等边三角形

OF=EF=m=2，

在Rt△PCF′中∠CF′P=60°，∠BPE′=∠CPF′=30°

BP=PE′÷sin∠B=，PC=，

由勾股定求得CF′=，所以OF′=.

故答案为：，

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