Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. 仅有①② C. 仅有①③ D. 仅有②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；

②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；

③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．

①根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故①正确；

②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；

③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点，

连接BA′与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度，

∵B（0，3），A′（3，0），

∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+，

故③正确．

综上所述，正确的结论是：①②③．

故选：A．