Question

【题目】在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．

（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝　 　；

（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；

（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）结论仍然成立，见解析；（3）BF＝BD+BE．

【解析】

（1）由“SSS”可证△DBF≌△EBF，可得∠DBF＝∠EBF＝60°；

（2）如图2，过点F作FG⊥BC，FH⊥AB，由“AAS”可证△FDH≌△FEG，可得FH＝FG，由角平分线的性质可得∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由全等三角形的性质可得DH＝EG，由含30°的直角三角形的性质可得BF＝2BH＝2BG ，进而可得出BF＝BE+BD．

解：（1）∵△DEF是等边三角形，

∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，

∵BD＝BE，DF＝EF，BF＝BF，

∴△DBF≌△EBF（SSS）

∴∠DBF＝∠EBF，且∠DBF+∠EBF＝120°，

∴∠EBF＝60°，

故答案为：60°；

（2）结论仍然成立，

理由如下：如图2，过点F作FG⊥BC于点G，，FH⊥AB于点H，

∵△DEF是等边三角形，

∴DF＝EF＝DE，∠DFE＝60°，

∵∠DFE＝60°，∠ABC＝120°，

∴∠FDB+∠FEB＝180°，且∠FEB+∠FEG＝180°，

∴∠FDB＝∠FEG，且∠FHD＝∠FGE＝90°，FD＝EF，

∴△FDH≌△FEG（AAS）

∴FH＝FG，且FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠ABF＝∠FBE＝60°；

（3）由（2）可知：△FDH≌△FEG，

∴DH＝EG，

∴BD+BE＝BH+DH+BE＝BH+BG，

∵∠ABF＝∠FBE＝60°，FG⊥BC，FH⊥AB，

∴∠BFH＝∠BFG＝30°，

∴BF＝2BH＝2BG，

∴BF＝BH+BG＝BD+BE．