Question

【题目】如图1,△ABC和△DEF是两块可完全重合的三角板,,.在如图1所示的状态下,△DEF固定不动,将△ABC沿直线a向左平移.

(1)当△ABC移到图2位置时,连解AF、DC,求证:AF=DC；

(2)若EF=8,在上述平移过程中,试猜想点C距点E多远时,线段AD被直线a垂直平分。并证明你的猜想是正确的。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点C距点E的距离为4时，理由见解析.

【解析】

（1）连接AF，CD，由BC=EF，得到BF=CE，证明△ABF≌△DEC，得到AF=DC．
（2）当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分，利用直角三角形的性质，进行解答即可．

（1）如图2，连接AF，CD，

∵BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，
即BF=CE，
在△ABF和△DEC中，
，
∴△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
（2）当点C距点E的距离为4时，线段AD被直线a垂直平分，
证明：如图3，

∵AF=DC，AC=DF，
∴四边形AFDC是平行四边形，
若AD被直线a垂直平分，假设a与AD交于点O，
在Rt△EFD中，∠DEF=30°
∴DF=EF=4，
在Rt△FDO中，∠FDO=30°，
∴OF=DF=2，
∴OC=2，
∴CE=EF-OF-OC=8-2-2=4．