Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，点P是线段BC上的动点（P不与B、C重合），且AD经过P点；已知∠B＝∠D＝30°，BC＝DE，AB＝AD＝10，∠PAC的平分线与∠ACB的平分线交于O．

（1）∠BAD与∠CAE相等吗？说明其理由；

（2）若AP长为m，请用含m的代数式表示线段PD的长，并求PD的最大值；

（3）当∠BAC＝90°时，α°＜∠AOC＜β°，那么α＝　 　，β＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）∠BAD＝∠CAE，见解析；（2）PD＝10﹣m，5；（3）105,150

【解析】

（1）先利用SAS证明△ABC≌△ADE，然后得出∠BAC＝∠DAE，通过等量代换即可得出∠BAD＝∠CAE；

（2）PD＝AD﹣AP＝10﹣m，由点P在线段BC上且不与B、C重合，得出AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．

（3）O为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AOC，从而得到α，β的值．

解：（1）∠BAD＝∠CAE，理由如下：

如图所示：

在△ABC和△ADE中，，

∴△ABC≌△ADE（SAS）

∴∠BAC＝∠DAE

即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE

∴∠BAD＝∠CAE．

（2）∵AD＝10，AP＝m，

∴PD＝10﹣m

当AD⊥BC时，AP最小，则PD最大，

∴AP＝AB＝5，

∴PD＝10﹣5＝5

∴PD的最大值为5；

（3）如图2，设∠BAP＝ ，则∠APC＝，

∵AB⊥AC，，

∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝，

∵∠PAC的平分线与∠ACB的平分线交于O，

∴∠OAC＝∠PAC，∠OCA＝∠PCA

∴

即

∴α＝105，β＝150；