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    18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α转得到线段PQ．
    （1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D．求∠CDB的度数；
    （2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，求∠CDB的大小（用含α的代数式表示）；
    （3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请求α的取值范围．

    分析 （1）证明△CMQ是等边三角形即可；
    （2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系；
    （3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围．

    解答 解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
    ∴BM⊥AC，AM=MC，
    ∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α转得到线段PQ，
    ∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
    ∴CM=MQ，∠CDB=60°，
    ∴△CMQ是等边三角形，
    ∴∠ACQ=60°，∠CDB=30°；
    （2）∠CDB=90°-α，证明如下：
    连接PC，由（1）得BM垂直平分AC，
    ∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
    又∵PQ=PA，
    ∴PQ=PC=PA，
    ∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
    ∴∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α，
    ∴∠BAC=∠ACD，
    ∴DC∥BA，
    ∴∠CDB=∠ABD=90°-α；
    （3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
    ∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
    ∵点P不与点B，M重合，
    ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
    ∴2α＞180°-2α＞α，
    ∴45°＜α＜60°．

    点评 本题主要考查菱形的判定和性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解题的关键，在（2）中得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．

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