Question

【题目】如图，二次函数的图像经过的三个顶点，其中，

（1）求点的坐标；

（2）在第三象限存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，能否将抛物线平移后经过两点，若能求出平移后经过两点的拋物线的表达式，并写出平移过程．若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）能，，原抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到，原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到

【解析】

（1）把A（1，m）代入函数式而解得m的值，同理解得n值，从而得到A，B的坐标；
（2）①分别过的三个顶点作对边的平行线，三条平行线两两相交于点，根据平行四边形的性质可求出点C的坐标；
②分别考虑函数图象经过A，C1，和A，C2时，求出抛物线表达式，再求出平移方式.

解：（1）的图象过点，

，

同理：，

，；

（2）分别过的三个顶点作对边的平行线，三条平行线两两相交于点.

因此，四边形，四边形，四边形为平行四边形.

，，，

，，，

因此，满足条件的点坐标为，；

（3）能.

①当平移后的抛物线经过A，C1两点时，

，，

设经过，两点的抛物线的表达式为，

依题意，得，解得，

经过两点的抛物线的表达式为，

该抛物线的顶点坐标为，而原抛物线顶点坐标为，

∵， ，

将原抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位即可获得符合条件的抛物线；

②当平移后的抛物线经过A，C2两点时，

，，，，

将点向右平移1个单位再向下平移1个单位使点移到点，这时点随着原抛物线平移到点，

经过两点的抛物线的表达式为，

即，

将原抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位即可获得符合条件的抛物线.