Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果，则称与互为“距点”．例如：点，点，由，可得点与互为“距点”．

（1）在点，，中，原点的“距点”是_____(填字母)；

（2）已知点，点，过点作平行于轴的直线．

①当时，直线上点的“距点”的坐标为_____；

②若直线上存在点的“点”，求的取值范围．

（3）已知点，，，的半径为，若在线段上存在点，在上存在点，使得点与点互为“距点”，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）．

【解析】

（1）根据定义判断即可；

（2）①设直线上与点的“距点”的点的坐标为（a，3），根据定义列出关于a的方程，解方程即可；

②点坐标为，直线上点的纵坐标为b，由题意得，转化为不等式组，解不等式组即可．

（3）分类讨论，分别取P与点M重合、P与点N重合讨论。当点P与点M重合时，设⊙C左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m-，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，解方程，取较小的值；当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m+，0），根据定义列出关于m的绝对值方程，解方程，取较大的值，问题得解．

解：（1）∵，O（0,0），

∴，

∴点D与原点互为“距点”；

∵，O（0,0），

∴，

所以点D与原点互为“距点”；

∵，O（0,0），

∴，

所以点D与原点互为“距点”；

故答案为：；

（2）①设直线上与点的“距点”的点的坐标为（a，3），

则，

解得a=2

故答案为（2,3）；

②如图，点坐标为，直线上点的纵坐标为b，设直线上点的坐标为（c，b）

则：，

∴，

∴,

∴,

即的取值范围是；

（3）如图（1），当点P与点M重合时，设⊙C左侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m-，0），

∵点P与点Q互为“5-距点"，P（1,2），

∴，

解得： ，；

∵，

∴取．

当点P与点N重合时，设⊙C右侧与x轴交于点Q，则点Q的坐标是（m+，0），

∵点P与点Q互为“5-距点"，则P（3,2），

∴，

解得：， ，

∵

∴取

∴．