Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数$y=\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）可得到关于b、k的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（p，q）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出q的值，将M（p，4）代入y=2x-2求出p的值，由M（3，4）在双曲线$y=\frac{m}{x}$（m≠0）上即可求出m的值，进而求出其反比例函数的解析式；
（2）作MD⊥x轴于D，分两种情况：①过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论；②过点A（0，-2）作AP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠MBD=∠ABO=∠PAO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b过A（0，-2），B（1，0）两点
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴一次函数的表达式为y=2x-2，
∴设M（p，q），作MD⊥x轴于点D
∵S_△OBM=2，
∴$\frac{1}{2}$OB•MD=2，
∴$\frac{1}{2}$q=2，
∴q=4，
∴将M（p，4）代入y=2x-2得4=2p-2，
∴p=3
∵M（3，4）在双曲线$y=\frac{m}{x}$（m≠0）上，
∴4=$\frac{m}{3}$，
∴m=12，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{12}{x}$；

（2）作MD⊥x轴于D，
①如图1，过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=2，
∴在Rt△PDM中，$\frac{PD}{MD}$=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11或OP=PD-OD=8-3=5
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）．
②如图2，过点A（0，-2）作AP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠MBD=∠ABO=∠PAO，
∴tan∠PAO=tan∠MBD=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=2，
∴在Rt△POA中，$\frac{OP}{OA}$=2，
∴OP=4，
∴当PA⊥AM，此时点P的坐标为（-4，0）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．