Question

如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．
（1）求证：△BAD≌△ACE；
（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=4，求四边形ADCE的面积．（结果保留根号）

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,梯形

专题：

分析：（1）根据平行四边形的性质得出，再利用等三角形的判定方法得出即可；
（2）首先根据锐角三角函数关系得出BG=

3

x，进而利用BG-DG=BD求出AG的长，进而得出梯形ADCE的面积．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
又∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE∥BD，AE=BD，
∴∠ACB=∠CAE=∠B，
在△DBA和△AEC中，

AB=AC ∠B=∠EAC BD=AE

，
∴△DBA≌△AEC（SAS）；

（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG=x，
在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，
∴AG=DG=x，
在Rt△AGB中，∵∠B=30°，
∴BG=

3

x，
又∵BD=4．
∴BG-DG=BD，即

3

x-x=4，
解得AG=x=2（

3

+1），
∴AE+DC=BC=2BG=2（4+2

3

+2）=12+4

3

∴S_梯形ADCE=

1

2

AG•（AE+DC）=

1

2

×（2

3

+2）×（4

3

+12）=24+16

3

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据BG-DG=BD得出AG的长是解题关键．