Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0，若等腰三角形边长a=1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长是

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：

分析：已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解答：解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴b²-4ac=[-（k+2）]²-4×1×2k=0，
解得：k=2．
此时原方程化为x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=5；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=1
代入方程：x²-（k+2）x+2k=0得：1²-（k+2）+2=0
∴解得：k=1，
∵x₁×x₂=bc=2k=2=3c，
∴c=

2

3

，
∴△ABC的周长为：1+1+

2

3

=

8

3

，
故答案为：5或

8

3

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．