Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒。

(1)出发2秒后，求△ABP的周长。

(2)当t为几秒时，BP平分∠ABC?

(3)问t为何值时，△BCP为等腰三角形?

(4)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动。当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?

Answer 1

【答案】（1）16+2；（2）t=3秒时，AP平分∠CAB；（3）当t为6s或12s或10.8s或13s时，△BCP为等腰三角形；（4）当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.

【解析】

（1）由勾股定理求出AC=8 cm，动点P从点C开始，出发2秒后，则CP=2 cm，AP=6 cm，由勾股定理求出PB，即可得出结果；

（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△APD≌Rt△APC，得出AD=AC=6cm，因此BD=10-6=4cm，设PC=x cm，则PB=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）分两种情况：①若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s；

②若P在AB边上时，有三种情况：

i若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，用的时间为12时；

ii）若CP=BC=6cm，过C作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P运动的路程为18-7.2=10.8cm，即可得出结果；

ⅲ）若BP=CP，则∠PCB=∠B，证出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程为13cm，即可得出结果；

（4）分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图6，P点走过的路程为t，Q走过的路程为2t，根据题意得出方程，解方程即可；

②当P、Q没相遇后：当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．

(1)如图1,由∠C=90，AB=10cm，BC=6cm，

∴AC=8 cm，

∵动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2 cm，AP=6 cm，

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB= =2cm，

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=(16+2) cm.

(2)如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，

∵AP平分∠CAB，

∴PD=PC.

在Rt△APD与Rt△APC中，

，

∴Rt△APD≌Rt△APC(HL),

∴AD=AC=6 cm，

∴BD=106=4 cm.

设PC=x cm,则PB=(8x)cm

在Rt△BPD中,PD2+BD2=PB2，

即x2+42=(8x)2，

解得：x=3,

∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；

(3)①如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形

②若P在AB边上时，有三种情况：

i)如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为4+8=12cm，

所以用的时间为12s时,△BCP为等腰三角形;

ii)如图5，若CP=BC=6cm，

过C作CD⊥AB于点D，根据面积法得：高CD=4.8cm，

在Rt△PCD中，PD=3.6cm，∴BP=2PD=7.2cm，

∴P运动的路程为187.2=10.8cm，

∴用的时间为10.8s时,△BCP为等腰三角形;

ⅲ)如图6，若BP=CP，则∠PCB=∠B，

∵∠ACP+∠BCP=90°,∠B+∠A=90°，

∴∠ACP=∠A，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm,所以时间为13s时,△BCP为等腰三角形.

综上所述，当t为6s或12s或10.8s或13s时，△BCP为等腰三角形；

(4)分两种情况：①当P、Q没相遇前：如图7，

P点走过的路程为tcm，Q走过的路程为2tcm，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t=12，

∴t=4s;

②当P、Q没相遇后：如图8，

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t8，AQ=2t16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t8+2t16=12，

∴t=12s，

∴当t为4秒或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分.