【题目】如图,点B在线段AC上,点D,E在AC的同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求证:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,AB=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q,当点P与A,B两点不重合时,求的值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根据同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=CE,然后根据AC=AB+BC整理即可得证;
(2)过点Q作QF⊥BC于F,根据△BFQ和△BCE相似可得,然后求出QF=BF,再根据△ADP和△FPQ相似可得,然后整理得到(AP-BF)(5-AP)=0,从而求出AP=BF,最后利用相似三角形对应边成比例可得,从而得解.
试题解析:(1)∵BD⊥BE,
∴∠1+∠2=180°-90°=90°,
∵∠C=90°,
∴∠2+∠E=180°-90°=90°,
∴∠1=∠E,
∵在△ABD和△CEB中,
,
∴△ABD≌△CEB(AAS),
∴AB=CE,
∴AC=AB+BC=AD+CE;
(2)如图,过点Q作QF⊥BC于F,
则△BFQ∽△BCE,
∴,
即 ,
∴QF=BF,
∵DP⊥PQ,
∴∠APD+∠FPQ=180°-90°=90°,
∵∠APD+∠ADP=180°-90°=90°,
∴∠ADP=∠FPQ,
又∵∠A=∠PFQ=90°,
∴△ADP∽△FPQ,
∴,
即,
∴5AP-AP2+APBF=3BF,
整理得,(AP-BF)(AP-5)=0,
∵点P与A,B两点不重合,
∴AP≠5,
∴AP=BF,
由△ADP∽△FPQ得,,
∴.
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【题目】如图所示,沿DE折叠长方形ABCD的一边,使点C落在AB边上的点F处,若AD=8,且△AFD的面积为60,则△DEC的面积为( )
A.
B.
C. 18
D. 20
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB与∠CAB的平分线交于点P,PD⊥AB于点D,若△APC与△APD的周长差为,四边形BCPD的周长为12+,则BC等于______.
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【题目】定义:对于依次排列的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d是常数),当它们满足在,且M为常数时,则称a,b,c,d是一组平衡数,M是该组平衡数的平衡因子,例如:对于多项式x+2,x+1,x+6,x+5,因为,所以2,1,6,5是一组平衡数,4是该组平衡数的平衡因子.
(1)已知2,4,7,9是一组平衡数,求该组平衡数的平衡因子M;
(2)若a,b,c,d是一组平衡数,a=-4,d=3,请直接写出组b,c的值;
(3)当a,b,c,d之间满是什么数量关系时,它们是一组平衡数,并说明理由.
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【题目】阅读下面材料:
小昊遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,BE是AC边上的中线,点D在BC边上,CD:BD=1:2,AD与BE相交于点P,求的值.
小昊发现,过点A作AF∥BC,交BE的延长线于点F,通过构造△AEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).请回答:的值为 .
参考小昊思考问题的方法,解决问题:
如图 3,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:BC:AC=1:2:3 .
(1)求的值;
(2)若CD=2,则BP=__________.
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【题目】如图,菱形ABCD的顶点A,B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).
(1)求线段AD所在直线的表达式;
(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
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【题目】已知点A(3,4),点B为直线x=1上的动点,设B(-1,y).
(1)如图①,若△ABO是等腰三角形且AO=AB时,求点B的坐标;
(2)如图②,若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC垂足为点C;
①当x=0时,求tan∠BAC的值;
②若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α,当点C在什么位置时tanα的值最大?
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