Question

【题目】如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．

（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），

∴点C的横坐标为4，BC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD=BC=4，

∵A（2，6），

∴D（6，6），

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，

∵点D在此抛物线上，

∴6=a（6﹣2）2+2，

∴a= ，

∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2+2= x2﹣x+3

（2）

解：∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）

∴E（ ，3），

∴BE= ，

∴S= （AF+BE）×3= （m﹣2+ ）×3= m﹣3

∵点F（m，6）是线段AD上，

∴2＜m≤6，

即：S= m﹣3（2＜m≤6）

（3）

解：方法一、∵抛物线解析式为y= x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直线AC解析式为y=﹣ x+9，

∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P

∴P（m，﹣ m+9），（2＜m≤6）

∴PN=m，PM=﹣ m+9，

∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，

∴∠MPN=90°，

∴MN= = =

∵2＜m≤6，

∴当m= 时，MN最小= = ．

方法二、∵抛物线解析式为y= x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直线AC解析式为y=﹣ x+9，

∴G（0，9），H（6，0），

∴GH=3 ，

由题意知，四边形NOMP为矩形，

∴MN=OP，

∴当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短，

∵S△GOH= OGOH= GHOP最小，

∴9×6=3 ×OP最小，

∴OP最小= ，

即：MN最小为

【解析】（1）根据平行四边形的性质和抛物线的特点确定出点D，然而用待定系数法确定出抛物线的解析式．（2）根据AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6），确定出E（ ，3），从而求出梯形的面积．（3）方法一、先求出直线AC解析式，然后根据FM⊥x轴，表示出点P（m，﹣ m+9），最后根据勾股定理求出MN= ，从而确定出MN最小值和m的值．
方法二、由题意知，四边形NOMP为矩形，MN=OP，所以当OP⊥GH时，OP最短，即为MN最短．然后利用三角形等面积法求出OP最小值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．