Question

4．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（　　）

• A． AD=CE
• B． MF=$\frac{1}{2}$CF
• C． ∠BEC=∠CDA
• D． AM=CM

Answer 1

分析 由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A正确；
由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，即可得出B正确；
由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；
D不正确．

解答 解：A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
在△AEC与△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠B}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFM=∠AFE=60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，∠AFE=60°，
∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，
∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，
∴∠BEC=∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM=CM不成立；
故选：D．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．