Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，D为斜边上的一点且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E．若△CDE的面积为a，则四边形ABDE的面积为2a．

Answer 1

分析 根据已知条件，先证明△DBE≌△ABE，进可得△DBE的面积等于△BDE的面积，再利用轴对称的性质可得△BDE≌△CDE，由此可得四边形ABDE的面积=2△CDE的面积，问题得解．

解答 解：连接BE．
∵∠A=90°，∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵BD=CD，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BD，
∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，
∴∠A=∠BDE=90°，
∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠A=∠BDE=90°}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），
∴△DBE的面积等于△BDE的面积，
∵BD=CD，DE⊥BC，
∴△BDE≌△CDE，
∴边形ABDE的面积=2△CDE的面积=2a，
故答案为：2a．

点评 本题主要考查了直角三角形全等的判定（HL）以及全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）和直角三角形中含30°角的性质，连接BE是解决本题的关键．