Question

9．四边形ABCD中，E是BC的中点，BC=4，且∠AED=∠B=∠C=60°．
（1）如图1，若AD∥BC，求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图2，若AD不平行于BC，过点E作EM⊥AD于M，求EM的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证四边形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，再由已知条件即可证明△ABE≌△DCE，由全等三角形的性质可得AE=DE，又∠AED=60°，所以可证明△ADE是等边三角形；
（2）过点E作EN⊥AB于点N，利用已知得出∠BAE=∠DEC，进而得出△ABE∽△ECD，利用相似三角形的性质求得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，进而利用特殊角的三角函数值求出即可．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，∠B=∠C=60°，
∴AB=CD，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
又∵∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{DE}$，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{DE}$，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=$\frac{NE}{BE}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BE=EC，
∴$\frac{EN}{BC}$=$\frac{EM}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵BC=4，
∴EM=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质和特殊角的三角函数数值等知识，综合性较强，得出NE=EM是解题关键．