Question

14．已知在等边△ABC中，AB=8，点E在直线AB上，点F在直线AC上（点E、F不与点A、B、C重合），连接CE、BF，且∠BCE=∠ABF，将线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BM，连接CM．
（1）如图1，若点E、F分别在线段AB与线段AC上
①求证：四边形CEBM是平行四边形；
②当∠ACE的度数为多少时，四边形CEBM是矩形，并求此时四边形CEBM的面积；
（2）如图2，若点E、F分别在线段BA与线段AC的延长线上时，请猜想四边形CEBM是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由旋转的性质得出BM=BF，∠FBM=60°，由等边三角形的性质得出∠A=∠ABC=60°，AB=BC，得出∠ABF=∠CBM，证出∠CBM=∠BCE，得出CE∥BM；由SAS证明△ABF≌△CBM，得出对应角相等∠BCM=∠A=60°，得出∠BCM=∠ABC，证出BE∥CM，即可得出结论；
②证出∠BEC=90°，即可得出四边形CEBM是矩形；由等边三角形的性质得出BE，由勾股定理求出CE，即可求出矩形的面积；
（2）同（1）①，先证明CE∥BM，再证明△ABF≌△CBM，得出∠BCM=∠BAC=60°，证出BE∥CM，即可得出结论．

解答 解：（1）①由旋转的性质得：BM=BF，∠FBM=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠ABF=∠CBM，
∵∠BCE=∠ABF，
∴∠CBM=∠BCE，
∴CE∥BM，
在△ABF和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBM}&{\;}\\{BF=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBM（SAS），
∴∠BCM=∠A=60°，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BE∥CM，
∴四边形CEBM是平行四边形；
②当∠ACE=30°时，四边形CEBM是矩形；
此时四边形CEBM的面积为16$\sqrt{3}$；理由如下：
∵∠BEC=∠A+∠ACE=60°+30°=90°，
∴四边形CEBM是矩形；
∵△ABC是等边三角形，∠BEC=90°，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CE=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴矩形CEBM的面积=BE•CE=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$；
（2）四边形CEBM是平行四边形；理由如下：
由旋转的性质得：BM=BF，∠FBM=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵∠BCE=∠ABF，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠FBM=60°，
∴∠CBM=∠BCE，
∴CE∥BM，
在△ABF和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBM}&{\;}\\{BF=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBM（SAS），
∴∠BCM=∠BAC=60°，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BE∥CM，
∴四边形CEBM是平行四边形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、矩形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过证明三角形全等得出平行线才能得出结论．