Question

已知：△ABC中，CD⊥AB于点D，过D作DE∥AC，点G为ED中点，BG的延长线交AC于F，F为AC的中点，连接CG、FD．
（1）若∠BGE=∠CGE，求证：∠CEG=2∠CDE；
（2）若DE⊥BC，BE=2CE，FG=FC，探究∠GCE，∠DCG，∠ABF的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）易证∠CGE=∠DGF和CG=FG，即可证明△CGE≌△FGD，可得∠CEG=∠FDG，易证∠CDF=∠CDE，即可求得∠CDE=

1

2

∠CEG，即可解题；
（2）根据∠CGE=∠CDE+∠DCG，∠BGE=∠BDE+∠ABF，即可求得∠CGB=∠DCG+∠ABF+90°，易证∠CGB=90°+∠GCE，即可解题．

解答：证明：（1）∵DE∥AC，
∴∠CGE=∠ACG，∠BGE=∠BFC，
∵∠CGE=∠BGE，∠BGE=∠DGF，
∴∠ACG=∠BFC，∠CGE=∠DGF，
∴CG=FG，
在△CGE和△FGD中，

CG=FG ∠CGE=∠DGF DG=GE

，
∴△CGE≌△FGD（SAS），
∴∠CEG=∠FDG，
∵DF是RT△ACD斜边上中线，
∴∠CDF=∠FCD，
∵∠CDE=∠CF，
∴∠CDF=∠CDE，
∴∠CDE=

1

2

∠FDG=

1

2

∠CEG，
∴2∠CDE=∠CEG；
（2）∵∠CGE=∠CDE+∠DCG，∠BGE=∠BDE+∠ABF，
∴∠CGE+∠BGE=∠CDE+∠DCG+∠BDE+∠ABF，
即∠CGB=∠DCG+∠ABF+∠CDB=∠DCG+∠ABF+90°，①
∵∠CGB+∠CGF=180°，∠GCE+∠FCG=90°，∠FCG=∠CGF，
∴∠CGB=90°+∠GCE，②
由①②得：∠GCE=∠DCG+∠ABF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CGE≌△FGD是解题的关键．