【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(﹣4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.
【答案】
(1)解:把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)代入y=ax2+bx+c得, ,
∴ ,
∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2﹣ bx+2,
对称轴为:直线x=﹣ ;
(2)解:存在,
∵AD=2t,
∴DF=AD=2t,
∴OF=4﹣4t,
∴D(2t﹣4,0),
∵直线AC的解析式为:y= x+2,
∴E(2t﹣4,t),
∵△EFC为直角三角形,
①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,
∴ ,即 = ,
解得:t= ,
②当∠FEC=90°,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴DE= AF,即t=2t,
∴t=0,(舍去),
③当∠ACF=90°,
则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t﹣4)2]=(4t)2,
解得:t= ,
∴存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形,此时,t= 或 ;
(3)解:∵B(1,0),C(0,2),
∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,
当D在y轴的左侧时,S= (DE+OC)OD= (t+2)(4﹣2t)=﹣t2+4 (0<t<2),
当D在y轴的右侧时,如图2,
∵OD=4t﹣4,DE=﹣8t+10,
S= (DE+OC)OD= (﹣8t+10+2)(4t﹣4)=﹣16t2+40t﹣24 (2<t< ).
【解析】(1)利用待定系数法把A、B坐标代入解析式即可;(2)△EFC为直角三角形时须分类讨论:①∠EFC=90°②∠FEC=90°,③∠ACF=90°三种情况讨论;(3)四边形DECO 的位置以y 轴为分界线,进行分类讨论:D在y轴的左侧与D在y轴的右侧,OD的表达式发生变化,须分类讨论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F、M、N、P均为格点(格点是指每个小正方形的顶点).
(1)利用图①中的网格,过P点画直线MN的平行线和垂线.
(2)把图②网格中的三条线段AB、CD、EF通过平移使之首尾顺次相接组成一个三角形(在图②中画出三角形).
(3)第(2)小题中线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形的面积是______.
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【题目】(1)如图1,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,若∠DCE=35°,则∠ACB=_____;若∠ACB=140°,则∠DCE=_______;
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系,并说明理由;
(3)如图2,若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系,请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2018的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD中,点E在CB的延长线上,连接ED交AB于点F,AF=x(0.2≤x≤0.8),EC=y.则在下面函数图象中,大致能反映y与x之间函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣2,0)和点B,交y轴负半轴于点C,且OB=OC,下列结论:
①2b﹣c=2;②a= ;③ac=b﹣1;④ >0
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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