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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A(﹣4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动,过点D作x轴的垂线,交△ABC的另一边于点E,将△ADE沿DE折叠,使点A落在点F处,设点D的运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)是否存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.

【答案】
(1)解:把A(﹣4,0),B(1,0),点C(0,2)代入y=ax2+bx+c得,

∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2 bx+2,

对称轴为:直线x=﹣


(2)解:存在,

∵AD=2t,

∴DF=AD=2t,

∴OF=4﹣4t,

∴D(2t﹣4,0),

∵直线AC的解析式为:y= x+2,

∴E(2t﹣4,t),

∵△EFC为直角三角形,

①当∠EFC=90°,则△DEF∽△OFC,

,即 =

解得:t=

②当∠FEC=90°,

∴∠AEF=90°,

∴△AEF是等腰直角三角形,

∴DE= AF,即t=2t,

∴t=0,(舍去),

③当∠ACF=90°,

则AC2+CF2=AF2,即(42+22)+[22+(4t﹣4)2]=(4t)2

解得:t=

∴存在某一时刻t,使得△EFC为直角三角形,此时,t=


(3)解:∵B(1,0),C(0,2),

∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+2,

当D在y轴的左侧时,S= (DE+OC)OD= (t+2)(4﹣2t)=﹣t2+4 (0<t<2),

当D在y轴的右侧时,如图2,

∵OD=4t﹣4,DE=﹣8t+10,

S= (DE+OC)OD= (﹣8t+10+2)(4t﹣4)=﹣16t2+40t﹣24 (2<t< ).


【解析】(1)利用待定系数法把A、B坐标代入解析式即可;(2)△EFC为直角三角形时须分类讨论:①∠EFC=90°②∠FEC=90°,③∠ACF=90°三种情况讨论;(3)四边形DECO 的位置以y 轴为分界线,进行分类讨论:D在y轴的左侧与D在y轴的右侧,OD的表达式发生变化,须分类讨论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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A.
B.
C.
D.

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①2b﹣c=2;②a= ;③ac=b﹣1;④ >0
其中正确的个数有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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