Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；

（2）求证：EF垂直平分AD．

Answer 1

【答案】（1）AC=9；（2）见解析

【解析】试题分析:(1)因为在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,因此可证得:DE=AE=BE= ,DF=AF=CF=再根据四边形AEDF的周长和AB的边长可计算出AC,(2)由(1)可得:DE=AE,DF=AF,利用线段垂直平分线的判定定理可得,点E,F在线段AD的垂直平分线上,因此EF垂直平分AD.

试题解析:(1)因为AD⊥BC,

所以△ADB和△ADC是直角三角形,

因为点E是AB的中点,点F是AC的中点,

所以DE=AE= , DF=AF =

因为四边形形AEDF的周长是24,AB=15,

所以AC=24-15=9.

(2)因为DE=AE, DF=AF ,

所以点E在线段AD的垂直平分线上,点F在线段AD的垂直平分线上,

所以EF垂直平分AD.