Question

10．如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式；
（3）当运动时间为$\frac{4}{3}$秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形面积求出正方形边长，进而得出B点坐标，即可得出反比例函数解析式；
（2）表示出△BEF的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）①作F点关于x轴的对称点F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），经过点E、F₁作直线求出图象与x轴交点坐标即可；
②作E点关于y轴的对称点E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），经过点E₁、F作直线求出图象与y轴交点坐标即可．

解答 解：（1）∵四边形AOCB为正方形，
∴AB=BC=OC=OA，
设点B坐标为（a，a），
∵S_△BOC=8，
∴$\frac{1}{2}$a²=8，
∴a=±4
又∵点B在第一象限
点B坐标为（4，4），
将点B（4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得，
k=16，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{16}{x}$；

（2）∵运动时间为t，
∴AE=t，BF=2t，
∵AB=4，∴BE=4-t，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$（4-t）•2t
=-t²+4t；

（3）存在．                              
当t=$\frac{4}{3}$时，点E的坐标为（$\frac{4}{3}$，4），点F的坐标为（4，$\frac{4}{3}$），
①作F点关于x轴的对称点F₁，得F₁（4，-$\frac{4}{3}$），经过点E、F₁作直线，
由E（$\frac{4}{3}$，4），F₁（4，-$\frac{4}{3}$）代入y=ax+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}a+b=4}\\{4a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
可得直线EF₁的解析式是y=-2x+$\frac{20}{3}$；
当y=0时，x=$\frac{10}{3}$，
∴P点的坐标为（$\frac{10}{3}$，0）
②作E点关于y轴的对称点E₁，得E₁（-$\frac{4}{3}$，4），经过点E₁、F作直线，
由E₁（-$\frac{4}{3}$，4），F（4，$\frac{4}{3}$）设解析式为：y=kx+c，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}k+c=4}\\{4k+c=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
可得直线E₁F的解析式是：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{10}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{10}{3}$，
∴P点的坐标为（0，$\frac{10}{3}$），
∴P点的坐标分别为（$\frac{10}{3}$，0）或（0，$\frac{10}{3}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数综合题，涉及了待定系数法求一次函数解析式以及待定系数法求反比例函数解析式和二次函数最值问题等知识，利用轴对称得出对应点是解题关键．