Question

3．已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，且AB=15，求∠ABD的度数和菱形的面积．

Answer 1

分析 由菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，AB=15，可求得∠BAC的度数，AC⊥BD，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数；然后利用含30°角的直角三角形的性质，求得OA与OB的长，继而求得AC与BD的长，则可求得菱形ABCD的面积．

解答 解：如图，∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠ABD=90°-∠BAC=30°；
∵AB=15，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=7.5，
∴OB=$\sqrt{3}$OA=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=2OA=15，BD=2OB=15$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积为：$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×15×15$\sqrt{3}$=$\frac{225\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．