Question

10．计算：$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+$\frac{\frac{1}{3}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）}$+$\frac{\frac{1}{4}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）}$+…+$\frac{\frac{1}{2016}}{（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）…（1+\frac{1}{2016}）}$．

Answer 1

分析 先计算每一个分数，再找出规律：$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$，再转化成2（$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），计算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$，
=2×（$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$）
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）
=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2017}$）
=2×$\frac{2017-2}{2×2017}$
=$\frac{2015}{2017}$．

点评 本题考查了分式的加减，把原分式化简，找到规律$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{2}{2017}$=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）是解题的关键．