Question

【题目】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的⊙O 分别交 AB、AC 于点 E、F，

（1）求证：BC 是⊙O 切线；

（2）设 AB=m，AF=n，试用含 m、n 的代数式表示线段 AD 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由AD为角平分线得到∠BAD=∠CAD，再由等边对等角得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，进而得到OD∥AC，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，结合角度的运算得出∠CDF=∠DAF，进而得到∠AFD＝∠ADB，结合∠BAD＝∠DAF得到△ABD∽△ADF，由相似得比例，即可表示出AD；

（1）证明：如图，连接OD，则OD为圆O的半径，

∵AD 平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∴∠ODC=∠C=90°

即OD⊥BC，

∴BC 是⊙O 切线．

（2）连接DF，OF，由（1）知BC为圆O的切线，

∴∠ODC=90°，

∴∠ODF+∠CDF=90°，

∴∠ODF=90°-∠CDF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD=，

又∵∠DAF=，

∴∠ODF=

∴∠CDF=∠DAF

又∵∠CDF+∠CFD=90°，∠DAF+∠CDA=90°，

∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，

∴，则

∵AB=m，AF=n，

∴

∴