Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，NE⊥AD于点E，求NE的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t．是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）；（3）t＝时，以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形

【解析】

（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．

（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式得：

，解得：，

则函数的表达式为：y＝﹣x2+x+1；

（2）设直线AD函数表达式为：y＝mx+n，将点A（0，1）、D （3，）代入得：

解得：

∴直线AD的表达式为：y＝x+1，

∴A点的坐标为(0，1）

设直线AD 与x轴交于H点，则H(-2，0)

∴tan∠AHO=，

∵PN⊥x轴， NE⊥AD

则tan∠ENP=an∠AHO=，则cos∠ENP=，

设点N（m，﹣m2+m+1）、点M（m+1），

则NE=MNcos∠ENP=（﹣m2+m+1﹣m﹣1）=﹣（m﹣）2+，

故当m=时，则NE的最大值为；

（3）设：OP＝t，则点M（t， t+1）、N（t，﹣t2+t+1），

∴|MN|=|-t2+t+1-t-1|=|-t2+t|，CD=，
如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴MN=CD，即-t2+t=，整理得：3t2-9t+10=0，
∵△=-39，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在t，
如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴MN=CD，即t2-t=，
∴t=或（负值舍去），
∴当t=时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．