Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2tx+2．

（1）求抛物线的对称轴（用含t的代数式表示）；

（2）将点A（﹣1，3）向右平移5个单位长度，得到点B．

①若抛物线经过点B求t的值；

②若抛物线与线段AB恰有一个交点，结合函数图象直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）直线x＝t；（2）①t＝；②t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点．

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可；

（2）①求得B点的坐标，代入解析式就可以求得t的值；

②求顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2＋2上移动，求得抛物线与直线y＝3的交点．再求出抛物线过点A、点B时，t的值，结合图象即可求出t的取值范围．

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2tx+2，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝t，

即抛物线的对称轴为直线x＝t；

（2）点A（﹣1，3）向右平移5个长度单位，得到点B（4，3），

①∵抛物线经过点B，

∴3＝﹣16+8t+2，

解得t＝；

②∵y＝﹣x2+2tx+2＝﹣（x﹣t）2+t2+2，

∴顶点的坐标为（t，t2+2），

由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在抛物线y＝x2+2上移动．

把y＝3代入y＝x2+2求得x＝±1，

当抛物线过点A（﹣1，3）时，t＝﹣1．

所以t≤﹣1或t＝1或t＞时，抛物线与线段AB有一个公共点．